La simultaneità è relativa

La simultaneità è relativa.

A proposito della relatività del tempo e della simultaneità guarda anche il mio: Video YouTube

La relatività dello spazio e del tempo sono concetti al limite della nostra comprensione e intuizione ma, in fondo, non intaccano la nostra quotidianità e il nostro modo di vedere il mondo. La relatività della simultaneità è, invece, di un’attualità sconvolgente perché ha profondi riflessi sul nostro modo di intendere la vita, il divenire, lo scorrere del tempo.

Se capìta veramente, la relatività della simultaneità ci fa intravedere un mondo fisico completamente diverso da quello percepito intuitivamente dai nostri sensi. Per esempio, la relatività della simultaneità mina i fondamenti del concetto di divenire, la certezza cioè che la realtà sia in continua trasformazione e movimento, il perenne nascere e morire delle cose.

Ma andiamo con ordine. Che cosa è la simultaneità? Che senso ha affermare che due eventi sono simultanei?

Molto semplicemente, si può rispondere che due eventi sono simultanei quando accadono contemporaneamente, cioè nel medesimo istante. La risposta è così semplice da sembrare ovvia. In effetti, il concetto di simultaneità sembra nascere da una necessità del pensiero come una nozione ‘data a priori’, che scaturisce dal nostro inconscio senza che noi ce ne accorgiamo. D’altra parte tutto il nostro vivere quotidiano è regolato dalla simultaneità. Tutti i nostri giudizi in cui interviene il tempo sono sempre giudizi su eventi simultanei.

Se dico, “ho incontrato Mario alle nove esatte”, io sto definendo due eventi simultanei: il primo è il posizionamento della lancetta delle ore del mio orologio sulle nove, il secondo è l’incontro con Mario. Se tu rispondi “io alle nove stavo imbarcandomi sul volo per Parigi” stai identificando altri due eventi simultanei. Non ci vuole molto per dedurre che, se il tuo orologio è sincronizzato con il mio, allora l’evento del mio incontro con Mario e l’evento del tuo salire sull’aereo sono simultanei.

Allargando il discorso posso figurarmi che alle nove esatte di questa mattina sono accaduti un’infinità di altri eventi tutti simultanei fra loro. Per vedere tutti gli eventi simultanei accadutati sulla Terra alle nove di questa mattina ci vorrebbe un ‘fermo immagine’. Se lo scorrere della vita è paragonato alla proiezione di un film e ad un certo punto la pellicola si blocca, tutti gli eventi che osserviamo sullo schermo sono simultanei fra loro. Mentre io incontravo Mario e tu salivi sull’aereo, al Polo Nord un cristallo di ghiaccio si scioglieva, a New York un uomo era accoltellato in una strada buia, in Africa una leonessa balzava dal cespuglio per rincorrere una gazzella. Il fermo immagine coglie nello stesso fotogramma tutti gli eventi simultanei.

Ma perché limitarsi agli eventi che accadono sulla Terra? Allarghiamo la prospettiva e nel fermo immagine delle nove esatte di questa mattina consideriamo tutti gli eventi dell’universo: la posizione di tutte le stelle e di tutte le galassie, la nascita di una nuova stella, la formazione di una supernova. Certo, è al di fuori delle capacità umane definire esattamente la posizione di tutti i miliardi di miliardi di stelle del firmamento alle nove di questa mattina, ma, in linea teorica, è possibile concepire con la mente un ‘fermo immagine’ che comprenda tutti gli eventi simultanei dell’universo. Sei d’accordo? Vedo che annuisci anche se con qualche perplessità. Ebbene non è così. Non è possibile catturare un ‘fermo immagine’ obiettivo dell’Universo che vada bene per tutti i suoi abitanti.

Il concetto di simultaneità non è così semplice come sembra a prima vista. Analizziamo insieme un semplice evento che accade ‘localmente’. Mettiamo che tu oggi sia uscito in barca a pescare sulla secca al largo di Capo d’Orso. A un certo punto a trecento metri dalla tua barca una massa scura appare in superficie e dopo qualche attimo scompare. Era un delfino venuto in superficie per una frazione di secondo. Ora ti chiedo “tu hai visto il delfino simultaneamente alla sua venuta in superficie?” O per essere più precisi: “l’evento della percezione nella tua mente del salto del delfino è simultaneo all’evento del delfino che salta dall’acqua?” Pensaci bene prima di rispondere.

Considera il meccanismo attraverso il quale tu hai visto il delfino. Un raggio di luce ha colpito il delfino, è rimbalzato sul suo corpo ed entrato nel tuo occhio. Ebbene quel raggio di luce ci ha messo un po’ di tempo per percorrere i 300 metri che c’erano fra te e il delfino. Quel tempo è stato piccolissimo perché la luce viaggia a 300.000 Km/sec e, ai fini pratici, è naturale considerarlo uguale a zero. Da un punto di vista matematico, però, un tempo di un milionesimo di secondo non è un tempo nullo. Per la realtà fisica ogni milionesimo di secondo è un elemento essenziale della trama del tempo. La tua mente ha visto il salto del delfino con il leggerissimo ritardo di un milionesimo di secondo rispetto a quando il salto è stato fatto nella realtà. I due eventi, cioè la tua percezione del salto e il salto vero e proprio, non sono stati simultanei.

Noi non vediamo mai quello che accade mentre accade, vediamo quello che è accaduto un ‘pochino’ prima, dove questo pochino può essere piccolissimo ma non è mai zero. In pratica, noi vediamo sempre cose del passato! Il presente non corrisponde al momento della nostra percezione sensoriale degli eventi.

Sul Corriere della Sera dell’altro giorno c’era questa notizia: “L’occhio del telescopio spaziale Hubble della Nasa ha rilevato che la stella nana Wasp-12 sta divorando un suo pianeta. Lo chiamano cannibalismo cosmico. Succede tra galassie grandi e piccole, tra due stelle, e ora si è visto che il fenomeno si verifica anche fra una stella e un suo pianeta. Dalla nascita dell’astro e con la stessa materia era nato il corpo planetario che ora l’astro-madre si riprende, distruggendolo.”

Ti faccio notare che l’articolo dice, sbagliando, che “la stella nana Wasp-12 sta divorando”. La sta divorando in questo momento? Neanche per idea. Il telescopio spaziale sta fotografando quello che accadeva 600 anni fa. Infatti, Wasp-12, della costellazione Auriga, è lontana dalla Terra 600 anni luce. In realtà, il telescopio spaziale sta vedendo quello che succedeva ai tempi di Cristoforo Colombo. Per vedere quello che succede adesso nella costellazione Auriga dobbiamo aspettare il 2610!

Non ha alcun senso parlare di simultaneità fra due eventi che accadono ad una certa distanza uno dall’altro. Possiamo invece calcolare quale momento del nostro passato è simultaneo con un evento spazialmente lontano. Se si conosce la distanza rispetto a noi del punto in cui accade l’evento è abbastanza semplice calcolare quanto indietro nel nostro passato questo evento è accaduto. Prendiamo il caso dell’evento relativo alla stella nana Wasp-12.

Nel diagramma 47 c’è la Terra e c’è Wasp-12. La Terra e Wasp-12 sono distanti 5,6 milioni di miliardi di km. Secondo il diagramma questa distanza rimane invariata nel tempo; questo lo puoi vedere dalle due worldline parallele.

L’evento E1 è un fatto che accade su Wasp-12; l’evento E2 è la nostra percezione dello stesso fatto sulla Terra. Sappiamo che la luce, viaggiando alla velocità di 300.000 km/s, per percorrere la distanza di 5,6 milioni di miliardi di km che separa la Terra da Wasp-12 impiega 600 anni.

Quindi se noi percepiamo l’evento E1 adesso nel 2010, possiamo dire che esso è accaduto nell’anno 1410, 82 anni prima della scoperta dell’America. In questo modo “sarebbe” possibile sincronizzare tutti gli eventi lontani con un momento preciso della nostra storia e ricavare così il famoso ‘fermo immagine’ di tutto l’universo cui accennavo all’inizio dell’articolo.

Bada bene: la relatività della simultaneità ancora non è entrata in gioco. Infatti, ho detto “sarebbe” perché nella discussione finora ho volutamente trascurato una cosa importante: tutti i corpi celesti dell’universo si muovono a velocità reciproche significative per cui non si può trascurare la relatività del tempo. Se mettiamo in moto i corpi celesti allora scende in campo la relatività della simultaneità.

Mettiamo che tu abbia rilevato l’emissione di un impulso di luce nella vastità dello spazio. Mettiamo anche che tu voglia sincronizzare il tuo tempo con il tempo dell’evento lontano. Abbiamo visto prima che, se sei fermo rispetto alla sorgente di luce e conosci la distanza da essa, allora non hai problemi. Che cosa succede invece se tu ti stai allontanando a una velocità di 150.000 km/s dal luogo in cui si è verificato l’evento lontano, cioè l’emissione del raggio di luce?

Nel diagramma 48 la sorgente della luce, Wasp-12, è considerata ferma, in stato di quiete. La sua worldline è pertanto una linea  verticale. Tutto il moto reciproco fra te e Wasp-12 è attribuito al tuo sistema. L’inclinazione della tua worldline che vedi nel diagramma corrisponde ad una tua velocità, rispetto a Wasp-12, di 150.000 km/s.

Mentre viaggi a questa velocità esagerata, percepisci un impulso di luce (evento E2) emesso da Wasp-12 (evento E1). Ti stai domandando “ho ricevuto il segnale in questo momento, ma quando è stato emesso?”.

Tecnicamente vuoi sapere quale punto della tua worldline è simultaneo con l’evento E1. 

Geometricamente  il problema è di facile soluzione: basta trovare il centro (c) del segmento E1-E2 e tirare una perpendicolare al segmento E1-E2 passante per c. Il punto d’intersezione di questa perpendicolare con la tua worldline individua l’evento E3 che è simultaneo con E1.

Il problema nasce dal fatto che questa che tu hai trovato è la tua personale linea di simultaneità. Se io viaggio a 145.000 km/s rispetto a Wasp-12 troverò una diversa linea di simultaneità. Ogni sistema di riferimento inerziale nell’universo avrà la sua linea di simultaneità privata. Ne consegue che ogni sistema di riferimento inerziale ha la sua propria idea di fermo immagine e che quindi non è possibile sincronizzare tutti gli eventi in un fermo immagine universale che vada bene per tutti.

L’esempio del treno che adesso propongo è stato fatto originariamente da Einstein stesso ed è poi stato ripreso su tutti i testi divulgativi della teoria della relatività.

“Le persone che viaggiano sul treno useranno vantaggiosamente il treno come corpo rigido di riferimento (sistema di coordinate); esse considerano tutti gli eventi in riferimento al treno. Ogni evento, poi, che ha luogo lungo la linea ferroviaria ha pure luogo in un determinato punto del treno. Anche la definizione di simultaneità può essere data rispetto al treno nello stesso preciso modo in cui viene data rispetto alla banchina.

Ora però si presenta, come conseguenza naturale, la seguente domanda: Due eventi (per esempio due colpi di fulmine A e B) che sono simultanei rispetto alla “banchina ferroviaria” saranno tali anche rispetto al treno? Mostreremo subito che la risposta deve essere negativa.

Allorché diciamo che i colpi di fulmine A e B sono simultanei rispetto alla banchina intendiamo: i raggi di luce provenienti dai punti A e B dove cadono fulmini si incontrano nel punto medio M dell’intervallo A B della banchina. Ma gli eventi A e B corrispondono anche alle posizioni A e B sul treno.

 Sia M’ il punto medio dell’intervallo sul treno in moto. Proprio quando si verificano i bagliori del fulmine, questo punto M’ coincide naturalmente con il punto M, ma esso si muove verso la destra del diagramma con la velocità v del treno. Se un osservatore seduto in treno nella posizione M’ non possedesse questa velocità allora egli rimarrebbe permanentemente in M e i raggi di luce emessi dai bagliori dei fulmini A e B lo raggiungerebbero simultaneamente, vale a dire s’incontrerebbero proprio dove egli è situato.

Tuttavia nella realtà (considerata con riferimento alla banchina ferroviaria), egli si muove rapidamente verso il raggio di luce che proviene da B, mentre corre avanti al raggio di luce che proviene da A. Pertanto l’osservatore vedrà il raggio di luce emesso da B prima di vedere quello emesso da A.

Gli osservatori che assumono il treno come loro corpo di riferimento debbono perciò giungere alla conclusione che il lampo di luce B ha avuto luogo prima del lampo di luce A. Perveniamo così al seguente importante risultato: gli eventi che sono simultanei rispetto alla banchina non sono simultanei rispetto al treno e viceversa (relatività della simultaneità); ogni corpo di riferimento (sistema di coordinate) ha il suo proprio tempo particolare: un’attribuzione di tempo è fornita di significato solo quando ci venga detto a quale corpo di riferimento tale attribuzione si riferisce.

Orbene, prima dell’avvento della teoria della relatività, nella fisica si era sempre tacitamente ammesso che le attribuzioni di tempo avessero un significato assoluto, cioè fossero indipendenti dallo stato di moto del corpo di riferimento. Abbiamo però visto or ora che tale ipotesi risulta incompatibile con la più naturale definizione di simultaneità.” (A. Einstein, Relatività)

Albert Einstein espone in maniera semplice e “divulgativa” la relatività della simultaneità servendosi di un esempio alla portata di tutti. La lucida prosa einsteiniana renderebbe del tutto inutile qualsiasi commento. Ma a me piace capire le cose anche visivamente e allora ho perso un po’ di tempo per creare questa piccola animazione.

Due colpi di fulmine causano due bagliori all’estremità del treno.

Nel primo frame dell’animazione ci sono i nostri due amici Rossi e Verdi. Rossi è su un terrapieno di lato a una linea ferroviaria nel punto M. Verdi, invece, si trova sul treno nella posizione centrale M’. Il treno viaggia a velocità pazzesca da sinistra verso destra.

Proprio quando si verificano i bagliori dei due fulmini, uno in A, in coda al treno, l’altro in B, in testa al treno, la posizione  M di Rossi coincide con la posizione M’ di Verdi (come risulta dalla posizione dei due amici nel primo frame dell’animazione). La luce dei due lampi si diffonde creando due sfere di luce che si espandono in tutte le direzioni alla velocità di 300.000 km/s e che raggiungono i due amici dopo un certo tempo (per quanto piccolo esso possa essere). 

Vediamo cosa succede combinando la velocità della luce con la velocità del treno nella prospettiva di Rossi. E’ facile vedere che i due raggi di luce raggiungono Rossi simultaneamente. Sapendo di trovarsi in una posizione centrale rispetto a A e B, Rossi può affermare che “i due bagliori di luce sono stati simultanei”

A questo punto Einstein si chiede:

Ora però si presenta, come conseguenza naturale, la seguente domanda: Due eventi (per esempio due colpi di fulmine A e B) che sono simultanei rispetto alla “banchina ferroviaria” saranno tali anche rispetto al treno?

Per mettermi nella prospettiva di Verdi sul treno ho modificato leggermente l’animazione precedente. 

Nel primo frame dell’animazione 08 ci sono i due amici nella stessa posizione. Adesso vogliamo sapere se i due bagliori sono simultanei anche per Verdi. Ricordo che Verdi è posto in M’ al centro del treno che si muove velocemente verso destra.

E’ facile vedere dall’animazione che Verdi è raggiunto dal raggio di luce che parte da B dopo cinque frames e solo più tardi, dopo sette frames, è raggiunto dal raggio che proviene da A, cioè dalla coda del treno. Essendo la velocità della luce di 300.000 km/s in entrambe le direzioni, Verdi potrà dire che “i due bagliori di luce NON sono stati simultanei“.

La risposta alla domanda: Due eventi (per esempio due colpi di fulmine A e B) che sono simultanei rispetto alla “banchina ferroviaria” saranno tali anche rispetto al treno? è allora negativa, come Einstein si era proposto di mostrare.

Per approfondire la questione propongo l’esperimento mentale del treno usando i diagrammi di Minkowsky.   

Nel diagramma 49 c’è il treno nel sistema di riferimento verde con il signor Verdi posto al centro del treno in posizione xV = 0 (punto M’ nell’esperimento mentale). Sul terrapieno, sistema di riferimento rosso, c’è il signor Rossi in posizione xR = 0 (punto M).

Le linee verticali tratteggiate sono le worldline delle due estremità del treno.

In questo diagramma i due sistemi di riferimento sono sovrapposti perché non c’è movimento reciproco. In pratica, il treno è fermo rispetto al terrapieno e Rossi e Verdi sono allineati nelle posizioni M’ e M.

A un certo punto, al momento t0, due fulmini colpiscono le estremità del treno generando due lampi di luce corrispondenti all’evento E1 in coda al treno e all’evento E2 in testa al treno.

La propagazione dei raggi di luce è raffigurata dalle linee gialle. La pendenza di queste linee è di 45 gradi perché, come ormai ben sai, nei diagrammi di Minkowsky la velocità di 300.000 km/s è rappresentata in questa maniera. Visivamente puoi figurarti che i raggi di luce provenienti dall’evento E1 e i raggi di luce provenienti dall’evento E2 raggiungono M’ e M (evento E3) nello stesso istante t1. Sia Rossi sia Verdi, sapendo di trovarsi in un punto centrale rispetto ai fulmini, concorderanno nel dire che “E1 ed E2 sono simultanei“. 

Questa situazione corrisponde a quello che noi sperimentiamo quotidianamente sulla Terra dove tutti i moti reciproci non sono relativisticamente significativi.

Vediamo cosa succede se il treno si muove velocemente lungo i binari.

Nel diagramma 50 il sistema di riferimento privilegiato è quello di Rossi sul terrapieno. L’asse temporale tR corrisponde alla worldline di Rossi che rimane fermo per tutto il tempo nel punto M.

Rispetto a questo riferimento considerato stazionario c’è un sistema di riferimento verde, il treno, che si allontana verso destra alla velocità di 150.000 km/s.

L’asse temporale tV è la worldline di Verdi che si muove insieme al treno, mentre l’asse spaziale xV è la sua linea di simultaneità. Le linee tratteggiate rappresentano la testa e la coda del treno.

Al tempo t0, proprio quando si generano i bagliori dei fulmini, la posizione M di Rossi coincide con la posizione M’ di Verdi.

I due lampi raggiungono Rossi all’evento E5. Egli, sapendo che i due fulmini sono caduti in luoghi da lui equidistanti, ne dedurrà che, nel suo riferimento, “E1 ed E2 sono simultanei “.

Rossi vuole ora rilevare cosa accade nel riferimento del treno.

Dal diagramma Rossi, considerando la linea di simultaneità del riferimento verde (xV) relativa al tempo t0, può vedere che l’evento E2 è al disotto della linea di simultaneità (avviene prima di t0) mentre l’evento E1 è sopra la linea di simultaneità (accade dopo t0). Rossi giunge alla conclusione che, nel riferimento di Verdi, E2 precede E1. In particolare, Verdi percepisce il raggio di luce proveniente dalla testa del treno all’evento E3, quello proveniente dalla coda all’evento E4.

Rossi giungerebbe alla stessa conclusione considerando che Verdi, in M’, si muove rapidamente in direzione dell’evento E2 e, allo stesso tempo, si allontana dall’evento E1. Facendo un po’ di conti, Rossi, ne deduce che lo spazio che il raggio di luce proveniente da E2 deve percorrere per raggiungere M’ è inferiore allo spazio che deve percorrere il raggio di luce proveniente da E1 per raggiungere lo stesso punto M’. Essendo la velocità della luce sempre la stessa in entrambe le direzioni, Rossi concluderà che, nel riferimento di Verdi, E2 precede E1 e che, quindi,”E1 ed E2 NON sono simultanei “.

Abbiamo analizzato l’esperimento da tutte le possibili prospettive e il risultato cui siamo giunti è che gli eventi E1 ed E2 sono simultanei per Rossi e non sono simultanei per Verdi. La cosa interessante è che nessuno può affermare che uno dei due si sbagli perché hanno entrambi ragione.

La simultaneità non è una proprietà intrinseca dello spaziotempo; è piuttosto il risultato del modo in cui noi lo percepiamo che ci impone di dividere lo spaziotempo quadridimensionale in sezioni di spazio tridimensionale ordinati lungo l’asse del tempo.

Una sezione di spazio tridimensionale nel riferimento di Rossi è la linea di simultaneità xR. Altre sezioni di spazio sono sovrapposte, parallelamente a xR, lungo la coordinata tempo tR come, per esempio, la sezione SR.

Le sezioni di spazio tridimensionale nel riferimento di Verdi sono disposte diversamente parallelamente alla linea di simultaneità xV.

Come ormai sappiamo, l’asse xR corrisponde al presente di Rossi e l’asse xV corrisponde al presente di Verdi. La prima cosa che notiamo è che il presente di Rossi non coincide con il presente di Verdi. O, meglio, coincide in un solo momento: al tempo t0.

Esaminiamo nel dettaglio cosa accade nel presente di Rossi e di Verdi in quel momento.

Al tempo t0, per Rossi, gli eventi E1 ed E2 accadono simultaneamente. Nello stesso istante, per Verdi, l’evento E1, non è ancora accaduto (è più su del suo presente). Ma c’è qualche dubbio che nel futuro di Verdi ci sarà un evento E1?

No, non c’è nessun dubbio perché l’evento è già lì nello spaziotempo quadridimensionale. A questo punto possiamo allargare la prospettiva e applicare questi concetti a tutto l’universo, alla nostra visione del mondo? Possiamo dire che tutti gli eventi del futuro sono già presenti nel continuo spaziotempo quadridimensionale “come bolle d’aria sospese in un blocco di ghiaccio” (S. Battersby)?  

Recentemente sono stato accusato da un luminare della fisica di non aver alcun senso di demarcazione tra fisica e filosofia: “ Di Bianco non dice mai, neppure di sfuggita: questo dice la fisica, ed ecco come la vedo io quanto a interpretazione filosofica”.

Per non incorrere nella critica, avverto che mi appresto a superare la linea di demarcazione tra fisica e metafisica. Lo faccio però in buona compagnia:  

Albert Einstein:

“Since there exists in this four-dimensional structure [space-time] no longer any sections which represent “now” objectively, the concepts of happening and becoming are indeed not completely suspended, but yet complicated. It appears therefore more natural to think of physical reality as a four dimensional existence, instead of, as hitherto, the evolution of a three-dimensional existence.”

 “Siccome nella struttura a quattro dimensioni dello spazio-tempo non è più possibile rappresentare obiettivamente l’adesso, i concetti di accadimento e di divenire sono, se non proprio completamente sospesi, certamente resi più complicati. Sembra quindi più naturale pensare alla realtà come a un’esistenza quadridimensionale piuttosto che all’evoluzione di un’esistenza tridimensionale”.

Albert Einstein:

“For us physicists, the distinction between the past, the present, and the future is only an illusion”

“Per noi fisici, la distinzione tra passato, presente e futuro è solo un’illusione”.

Kurt Goedel, uno dei più grandi matematici del XX secolo e collaboratore per un certo periodo di Einstein:

“Given the relativity of simultaneity, it is impossible to slice space-time into a stack of ‘NOWS’ in a unique way, indicating that it is unrealistic to suppose that the world consists of such a series of fleeting ‘nows’ with the past and the future nonexistent. It is more realistic to suppose that the past and the future exist statically and that time do not really pass.” (K. Goedel. A Remark about the relationship between Relativity Theory and Idealistic Philosophy).

“Data la relatività della simultaneità, non è possibile dividere lo spazio-tempo in sezioni di ‘adesso’ in modo univoco. Ciò indica che non è realistico pensare al mondo come a una serie di fugaci ‘adesso’ con il passato e il futuro non esistenti. E’ più realistico pensare che il passato e il futuro esistono staticamente e che il tempo in realtà non scorre “.

Brian Greene, Fisico. Teoria delle Stringhe.

“Just as we envision all of space as really being out there, as really existing, we should also envision all of time as really being out there, as really existing too” (B. Greene, The Fabric of the Cosmos).

“Proprio come immaginiamo tutto lo spazio come realmente presente là fuori, come realmente esistente, allo stesso modo dovremmo immaginare tutto il tempo come realmente presente là fuori, come realmente esistente “.

Stephen Battersby, Divulgatore scientifico, New Scientist

“ All the events that have happened or will ever happen are marked by points in this “block” of space-time, like bubbles suspended in ice. Past and future have the same footing, and there’s no flow”

“Tutti gli eventi che sono accaduti o che accadranno sono contrassegnati da punti nel ‘blocco ‘di spazio-tempo, come bolle d’aria sospese nel ghiaccio. Passato e futuro sono sullo stesso livello, non c’è nessun flusso, niente scorre“.

Stephen Hawking, Titolare della cattedra di Newton a Cambridge – Autore di ‘A Brief History of Time’

“… what we call real time is just a figment of our imaginations”

“… ciò che chiamiamo tempo reale è solo frutto della nostra immaginazione”

Luigi Di Bianco

ldibianco45@gmail.com