Da Aristotele a Galileo

La TEORIA della RELATIVITA´ … per stupidi (2)

Lo spazio-tempo di Aristotele

Non avrebbe senso parlare di spazio-tempo prima di Einstein. Fino alla formulazione della teoria speciale della relatività, i fisici, da Aristotele a Newton, avevano sempre considerato lo spazio e il tempo come due entità ben distinte. In questo articolo uso il termine ‘spazio-tempo’ di Aristotele e ‘spazio-tempo’ di Galileo per seguire l’evoluzione dei due modelli nel modello finale dello spaziotempo (senza trattino) di Einstein.
Fino a Galileo il mondo fisico accettato da tutti era quello descritto dal modello aristotelico.

Si può usare una metafora per descrivere lo spazio-tempo aristotelico.

Secondo Aristotele, c’è un Primo Motore immobile, cioè un principio che, per il fatto di essere appunto immobile, può essere pensato come la sorgente da cui sgorga e si diparte il mondo fisico in movimento. Questo Primo Motore non è soggetto al divenire che corrompe e risiede immobile nel punto di origine delle coordinate spaziali di tutte le cose dell’universo. Dalla sua residenza si diparte un reticolo o griglia metallica che copre tutto lo spazio. Con voce potente che può essere sentita simultaneamente in tutto lo spazio, egli comanda: “ con un ferro rovente marchiate la griglia con tre numeri (x,y,z) che indichino quanto il punto in cui vi trovate è distante, nelle direzioni x (lunghezza), y (profondità) e z (altezza), da Me che mi trovo nel punto x=0, y=0, z=0 . ”

Fatto questo, tutti gli abitanti dello spazio possono in maniera chiara e univoca definire la posizione di qualsiasi punto dello spazio: basta leggere i numeri x,y,z incisi sulla griglia. Questo è lo spazio assoluto .

Il Primo Motore porta appeso al collo un grande orologio che scandisce il tempo e i cui rintocchi possono essere uditi simultaneamente da tutti gli abitanti dell’universo. Tutti gli orologi dell’universo, quelli sulla Terra, su Marte o sulla più lontana galassia si sincronizzano automaticamente sul tempo dell’orologio universale del Primo Motore. Questo è il tempo assoluto.

Vedremo invece che, per la teoria della relatività, né lo spazio, né il tempo sono assoluti.

Per vedere come spazio e tempo sono legati fra loro nel modello aristotelico, ho disegnato, nel diagramma 15 , lo spazio-tempo come un parallelepipedo con il tempo nel senso dell’altezza e la base quadrata come la particolare configurazione dello spazio all’inizio del tempo. Ogni sezione orizzontale del parallelepipedo, o, come dicevo nell’articolo precedente, ogni carta nel mazzo di carte da gioco, rappresenta tutto lo spazio in un determinato istante. Ne consegue che eventi che sono sullo stesso piano orizzontale sono eventi che accadono simultaneamente in punti diversi dello spazio.

Esempio:
L’evento E1 è il primo rintocco di mezzogiorno del campanile della Chiesa di Positano.
L’evento E2 è il primo rintocco di mezzogiorno del campanile del Duomo di Amalfi.

I due eventi accadono in due punti di coordinate spaziali diverse, ma se gli orologi del Chiesa di Positano e del Duomo di Amalfi sono perfettamente sincronizzati, allora i due eventi sono simultanei fra loro al tempo t .

Nel parallelepipedo possiamo anche individuare eventi che accadono su piani orizzontali diversi. Ovviamente, come si capisce facilmente dal diagramma 16, i due eventi E1 ed E2 si verificano in tempi diversi, rispettivamente al tempo t1 e t2.

Nel caso particolare descritto nel diagramma i due eventi si trovano sulla stessa verticale. Questo vuol dire che i due eventi accadono nello stesso punto nello spazio. La linea verticale, in questo diagramma, rappresenta la stessa posizione nello spazio per tutta la durata del tempo oppure, per dirlo con parole diverse, la linea verticale contiene tutti gli eventi che sono coincidenti nello spazio ma non nel tempo.

Esempio:
L’evento E1 è il primo rintocco a mezzogiorno del primo gennaio 2010 del campanile del Duomo di Amalfi.
L’evento E2 è il primo rintocco a mezzogiorno del 10 gennaio 2010 sempre del campanile del Duomo di Amalfi.

I due eventi accadono nello stesso punto spaziale (il campanile del Duomo di Amalfi) ma in tempi diversi (t1 e t2)

A questo punto potrai pensare che io stia perdendo tempo a spiegare delle cose ovvie. E’ qui che ti volevo … è vero … sono cose ovvie … ma sbagliate. O, meglio, sono corrette solo in questo caso particolare perché la Chiesa di Positano e il Duomo di Amalfi, essendo ben piantati sulla Terra, sono fermi uno rispetto all’altro.

Ma noi dobbiamo generalizzare, dobbiamo, cioè trovare delle leggi che vadano bene sia sulla Terra, sia su un pianeta che dista un centinaio di anni luce dalla Terra e che si muove a grande velocità rispetto a essa. In questa prospettiva il modello spazio-tempo di Aristotele descritto finora va a farsi benedire. Nell’universo tutto è in movimento: stelle, nebulose, galassie, e tutti gli immensi sistemi gravitazionali dell’infinito sono in moto continuo. I loro movimenti possono essere descritti solo uno relativamente all’altro, perché nello spazio non vi sono direzioni e confini e, soprattutto, non c’è un sistema fermo, o in stato di quiete assoluta, che possa essere usato come sistema di riferimento per tutti gli altri. In altre parole, il triangolino giallo con bordo rosso (la residenza del Primo Motore) che ho disegnato all’origine degli assi dei diagrammi precedenti non esiste.

La natura non ci offre alcun “campione” di confronto e lo spazio, come affermava il filosofo e matematico Leibniz , è semplicemente “ l’ordine o il rapporto delle cose fra di loro ”.

Lo spazio-tempo di Galileo

Aristotele, la cui scienza naturale ha dominato il pensiero dell’Occidente per duemila anni, era convinto che l’uomo potesse giungere a capire una qualsiasi realtà fisica semplicemente ragionando sui “principi di per se stessi evidenti”. Non c’è da sorprendersi, quindi, se per duemila anni, fino a Galileo, nessuno aveva mai pensato di mettere alla prova con esperimenti pratici le leggi intuite con il pensiero. La novità che Galileo introdusse furono gli esperimenti, le “sensate esperienze”, cioè il cosiddetto metodo sperimentale.

Nel suo “ Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo ” egli descrive un esperimento pratico:

Rinserratevi con qualche amico nella cabina più grande sotto coperta di una grossa nave e portate con voi qualche mosca, qualche farfalla e altri simili animaletti volanti. Portatevi anche un vaso d’acqua con dentro dei pescetti vivi. Sospendete poi in alto un recipiente pieno d’acqua e lasciate cadere l’acqua, goccia a goccia, in una bottiglia posta sotto il recipiente. Con la nave ferma, osservate diligentemente come gli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della cabina; come i pesci nuotano indifferentemente in tutte le direzioni; come le gocce cadono esattamente nel collo stretto della bottiglia; osserva come lanciando qualcosa a un amico non devi impiegare maggiore o minore forza a secondo della direzione del lancio; e come saltando a piedi uniti, riesci a saltare la stessa distanza in tutte le direzioni.
Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose fate muovere la nave con quanta si voglia velocità purché di moto uniforme e non fluttuante in qua e in là. Ripetete gli stessi esperimenti fatti con la nave ferma. Non riconoscerete una minima mutazione in tutti gli effetti nominati prima; né da alcuno di quelli potrete comprendere se la nave si muove oppure sta ferma
”.

Da questo semplice esperimento si deduce il cosiddetto principio della “ relatività galileiana ” che può essere così formulato: ” I moti dei corpi che si trovano in un dato spazio, sono relativamente gli stessi, sia che lo spazio si trovi in stato di quiete sia che esso si muova di moto uniforme in linea retta . ” O, più brevemente, con il lessico della fisica: “ Le leggi della meccanica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali ” .

Non ti far impressionare da questi paroloni. E’ tutto molto semplice. Cosa s’intende per “ leggi della meccanica ” e per “ sistemi inerziali ”?

In fisica, le leggi della Meccanica sono le leggi che si occupano del movimento dei corpi. Per esempio, il volo di una pallina da tennis lanciata in aria è regolato dalle leggi della meccanica. Un sistema inerziale è, invece, un sistema che si muove di moto rettilineo e uniforme. In altre parole, un sistema inerziale è un sistema che mantiene una velocità costante, senza accelerazioni o rallentamenti, e che non cambia direzione.

Ora cosa vuol dire che le leggi della meccanica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali?

Vuol dire che il volo della pallina da tennis sarà regolato dalle stesse leggi fisiche sia se lanciata sulla nave di Galileo in movimento, sia se lanciata sulla spiaggia che la nave sta costeggiando. Data una determinata forza di lancio (diciamo x) corrispondente a una certa velocità iniziale, la pallina viaggerà alla stessa velocità media, per esempio di 10 metri al secondo, e raggiungerà la stessa distanza sia se è lanciata lungo la spiaggia, sia se è lanciata sul ponte della nave (gli effetti della resistenza dell’aria sono da trascurare).

Nei due sistemi inerziali le leggi del moto dei corpi sono esattamente le stesse. Forse ti starai chiedendo: “ Ma la spiaggia sta ferma! come fa Luigi a considerarla un sistema inerziale, cioè in movimento? ” Il fatto è che, rispetto alla nave di Galileo considerata ferma, la spiaggia si muove!

D’altra parte noi possiamo ben dire che la spiaggia, le montagne, le case, gli alberi sono immobili, ma ci sbagliamo. Le spiagge, montagne, case e alberi sono tutt’altro che immobili, essi si spostano insieme alla Terra attraverso lo spazio con moto uniforme vertiginoso e complicatissimo. Per le esigenze normali, la Terra può essere considerata un sistema stazionario, cioè fermo, ma per la teoria della relatività, essa deve essere considerata un sistema inerziale.

Ma cosa succede se io da un sistema inerziale voglio misurare quello che succede su un altro sistema inerziale?

Mettiamo che io sia sulla spiaggia e che la nave di Galileo transiti lungo la costa proprio di fronte a me a una velocità di 21 km/ora (o 6 metri al secondo circa). Proprio mentre è di fronte a me, Galileo, sul ponte della nave, lancia la sua pallina da poppa verso prua con una forza x e verifica che, in effetti, la velocità media della pallina è di 10 metri al secondo.

Io sono posizionato sulla spiaggia con accurati strumenti di misura per verificare la velocità della pallina e … sorpresa, sorpresa … rilevo una velocità media di 16 metri il secondo. Ma a pensarci bene … non c’è tanto da sorprendersi: in effetti, rispetto a me sulla spiaggia, la pallina già viaggiava a 6 metri al secondo insieme alla nave quando era ancora nella mano di Galileo. Quindi la velocità impressa alla pallina dal gesto di Galileo va a sommarsi alla velocità della nave.

Ora allarga la prospettiva e immagina milioni di osservatori inerziali, ciascuno su un pianeta diverso in movimento, a velocità diverse, nello spazio intergalattico. Contemporaneamente, essi stanno rilevando la velocità media della pallina lanciata da Galileo sulla nave. Che velocità misureranno? Quella mia o quella di Galileo? Nessuna della due!

Ciascun osservatore inerziale troverà una velocità della pallina diversa. Una grossa baruffa si accende nello spazio intergalattico perché tutti vogliono aver ragione. Chi ha ragione? Hanno tutti ragione! Per evitare la zuffa intergalattica basta far notare ai contendenti che, conoscendo la velocità relativa di ciascun osservatore inerziale rispetto alla nave e usando la cosiddetta “ trasformazione galileiana ”, tutti concorderanno che la velocità della pallina rispetto alla nave è di 10 metri al secondo.

L’esperimento di Galileo mette in crisi il concetto aristotelico di stato di quiete assoluta perché dimostra che non è possibile distinguere fra uno stato di quiete e uno stato di movimento uniforme. Se Galileo fosse vissuto ai giorni nostri forse avrebbe usato anche l’esempio del treno per dimostrare questo concetto. Immagina di essere su un treno che si mette in moto tanto dolcemente da non causare alcuna scossa ai vagoni. Ora tu guardi dal finestrino e vedi un altro treno sul binario vicino. Se non distogli gli occhi dal finestrino, sarai in grado di capire qual è il treno che si muove e qual è il treno che sta fermo? Potrai dire con quale velocità il tuo treno o quello sul binario accanto si muove e in quale direzione? La risposta è no! L’unico modo per capire se sei fermo o in movimento è di guardare dalla parte opposta un riferimento fisso come può essere la pensilina della stazione.

L’impossibilità di individuare un riferimento assolutamente fermo comporta che posizione e movimento dei corpi possono essere descritti solo uno relativamente all’altro. Ma qual è il sistema di riferimento che possiamo considerare fermo?

La risposta è molto semplice: io posso considerare fermo il mio sistema di riferimento, tu puoi considerare fermo il tuo! Una cosa è certa, dal mio punto di vista, io sono fermo rispetto a me stesso. Quindi, io, tu, ognuno può vedere il mondo dal punto di vista dove lui è fermo e tutto il resto si muove.

In questa maniera, lo stato di quiete, da attributo del Primo Motore, da concetto pubblico, assoluto e universale, è degradato a concetto privato, relativo e personale. Il principio di relatività di Galileo stabilisce una sorta di democrazia fra tutti gli osservatori inerziali nel senso che chiunque può considerare se stesso come origine dello spazio.

A questo punto, un po’ di fantascienza non guasta.

Ho avuto un incontro del terzo tipo con gli extraterrestri. Ero tranquillamente a casa a leggere un libro quando sono stato anestetizzato dagli extraterrestri e trasportato su un UFO, un gigantesco disco volante. Finito l’effetto degli anestetici mi risveglio e mi accorgo di essere su un grosso veicolo spaziale. Mi ritrovo in quella che sembra una grande sala comandi seduto davanti ad un pannello pieno zeppo di comandi assolutamente incomprensibili. Mi guardo intorno incuriosito: nella grande sala non c’è nessun oblò per guardare fuori e nessun essere vivente in giro. Il veicolo spaziale non vibra e non emette alcun rumore.

Sono fermo da qualche parte sulla Terra o sono in movimento uniforme attraverso lo spazio? Come faccio a saperlo? Proprio di fronte a me sul pannello dei comandi noto un grosso pulsante rosso. Mi sembra un po’ strano, ma sopra il pulsante leggo la scritta in inglese “Signal send”, cioè “invio segnale”. Di che segnale si tratta? E chi è il destinatario del segnale? Non rimane che provare e premere il pulsante. E’ quello che faccio … aspetto un po’ … non succede niente. Anzi … qualcosa succede: sul display luminoso di fianco al pulsante compare, per qualche secondo, la scritta lampeggiante “ore 12:00”.

Poiché sono libero di muovermi, decido di esplorare il veicolo spaziale. Mi alzo dalla poltroncina di fronte al pannello dei comandi e mi dirigo verso il fondo della sala comandi dove vedo che c’è una porta. Attraverso la porta e mi ritrovo in un lungo corridoio illuminato da una soffusa luce bluastra. M’inoltro nel corridoio per circa cinque minuti senza trovare niente di interessante. Decido quindi di ritornare nella sala comandi e mi risiedo sulla stessa poltroncina al pannello di comando. Il pulsante rosso d’invio segnale è ancora lì che mi tenta. Riprovo? Ma sì … lo schiaccio di nuovo … il display luminoso si riattiva … compare la scritta lampeggiante “ore 12:10” … ma non succede nient’altro.

Ma cosa ne è stato dei due segnali che ho inviato? Se fossero stati dei segnali radio, chiunque avrebbe potuto riceverli. Infatti, sulle coste del Brasile, nel centro di controllo del traffico aereo di Los Condores, l’ing. Verdi ha intercettato il primo segnale alle ore 12:00 e il secondo segnale dieci minuti dopo. Con il radar, l’ing. Verdi ha anche individuato la posizione della sorgente del primo segnale nel punto di coordinate A, e quella del secondo segnale nel punto di coordinate B. Ma c’è qualcun altro che ha ricevuto i due segnali: è ZX019 , il controllore di volo della navicella spaziale che se ne sta comodamente seduto nel suo centro spaziale su Marte. Anch’egli riceve i due stessi segnali dal veicolo spaziale a dieci minuti di distanza uno dall’altro.

Fine della puntata della storia di fantascienza.

Ho raccontato questa stupida storiella perché mi serve per spiegare graficamente alcuni aspetti importanti dello spazio-tempo galileiano. Innanzitutto disegno due diagrammi per rappresentare visivamente la storia.

Nel diagramma 18 ho disegnato il sistema inerziale chiamato Terra con il suo bravo centro di controllo aereo situato sulle coste del Brasile.
Qui è seduto l’osservatore inerziale ing. Verdi. Egli riceve i due segnali radio e segue la traccia dell’UFO sul suo schermo radar.

Anche il veicolo spaziale che si muove di moto uniforme lungo la linea tratteggiata gialla è un sistema inerziale. Seduto al pannello di comando del veicolo spaziale, io, a mia volta, sono a tutti gli effetti un osservatore inerziale.

Dal grafico si possono individuare due eventi:

L’evento E1 : ore 12.00; invio del primo segnale radio dalla posizione A ;
L’evento E2 : ore 12.10; invio del secondo segnale radio dalla posizione B .

L’ing. Verdi dal suo centro di controllo calcolerà facilmente che l’UFO viaggia a 900 km/ora e che il punto B dista 150 Km dal Punto A.

A questo punto faccio entrare in gioco il terzo osservatore inerziale, il signor ZX019 dal suo centro spaziale su Marte.

Alla stessa maniera dell’ing. Verdi, ZX019 riceve il primo segnale generato all’evento E1 e, dieci minuti dopo, riceve il segnale generato all’evento E2 . In questo caso però le posizioni A e B rilevate da ZX019 non corrispondono assolutamente alle le posizioni rilevate dall’ing. Verdi.

In particolare, per ZX019 il punto B non è a 150 Km dal punto A ma a qualche migliaia di chilometri. Nel corso dei dieci minuti, la Terra si è, infatti, spostata nello spazio di qualche migliaia di chilometri rispetto a Marte.

I diagrammi 18 e 19 sono utili per cogliere visivamente quello che accade nello spazio secondo la mia storiella fantascientifica. Ma questo non basta. Provo a riportare la storia nel parallelepipedo spazio-tempo di Galileo. Nei diagrammi che seguono, per non rendere tutto troppo complicato, tralascio l’osservatore inerziale ZX019.

Incappo subito in un problema: nel modello galileiano non è possibile individuare un’origine assoluta delle coordinate spaziali che vada bene sia per l’ing. Verdi sia per me sulla nave spaziale. In pratica non posso mettere il triangolo giallo con bordo rosso all’origine dello spazio assoluto. Dovrò usare un più modesto triangolo di colore grigio per indicare l’origine dello spazio relativo. L’ing. Verdi avrà il suo spazio relativo e il suo sistema di riferimento, io il mio.

A turno, prima lui, poi io, assumeremo il ruolo di Primo Motore.

Nel diagramma 20 , il ruolo di Primo Motore è assunto dall’ing. Verdi. Egli può dichiarare che il suo sistema inerziale è un sistema stazionario, cioè fermo, con coordinate x = 0, y = 0 e z = 0 (vedi piano orizzontale grigio).

I piani orizzontali celeste e viola corrispondono rispettivamente alle configurazioni spaziali alle ore 12:00 e alle ore 12:10. L’ing. Verdi è rappresentato nel diagramma dalla linea verde verticale; egli, infatti, non si muove rispetto al suo sistema di riferimento per tutto il tempo della storia. La wordline del mio veicolo spaziale è la linea rossa. Io mi muovo, o meglio il mio sistema inerziale si muove rispetto all’ing. Verdi, di moto uniforme. Più precisamente la mia navicella spaziale viaggia a 900 km/ora mantenendo sempre la stessa direzione.

Nell’istante dell’evento E1, alle ore 12:00, sono a 100 km dall’ing. Verdi (V1) e mi allontano sempre di più. Nell’istante dell’evento E2, alle 12:10, sono a 250 km (100+900/60 x 10) di distanza. Secondo l’ing. Verdi, l’evento E2 accade a 150 km di distanza dall’evento E1.

Adesso è il mio turno di fare il Primo Motore. Per la verità, chiuso come sono nella nave spaziale senza alcun riferimento esterno, sono un Primo Motore un po’ handicappato. Ma non è importante perché, come tutti i Primi Motori che si rispettino, io dichiaro pubblicamente che la mia nave spaziale è un sistema stazionario, fermo alle coordinate x = 0, y = 0 e z = 0 anche se in effetti dovesse viaggiare a una velocità esagerata. Gli altri si arrangino pure.

Rispetto al mio sistema di riferimento (rettangolo grigio) gli eventi E1 ed E2 sono coincidenti nello spazio. Se ricordi bene, io ho infatti attivato il “Signal send” stando seduto comodamente sulla stessa poltroncina di fronte al pannello dei comandi.

Per rappresentare graficamente la situazione ho dovuto portare l’evento E2 esattamente sopra l’evento E1. Per fare questo mi è stato necessario traslare verso sinistra tutto il piano orizzontale arancione. In questo modo, la worldline della navicella spaziale viene ruotata in senso antiorario rispetto al diagramma 20, fino ad assumere l’aspetto di una linea verticale. Questo è quello che c’è da aspettarsi se la mia nave spaziale è un sistema stazionario.

Anche la worldline dell’ing. Verdi viene opportunamente inclinata verso sinistra per indicare il suo progressivo allontanamento dalla mia worldline stazionaria. Rispetto a me sull’astronave ferma, l’ing. Verdi si allontana progressivamente come si vede dal disegno.

Da quanto detto finora risulta evidente che lo spazio-tempo galileiano non può essere rappresentato nel parallelepipedo spazio-tempo di Aristotele. O meglio, non è più possibile disegnare i piani orizzontali rigidamente sovrapposti e allineati uno sopra l’altro a formare una pila perfetta.

Nel modello galileiano, ogni sistema inerziale è rappresentato da un piano orizzontale che può essere shiftato o traslato orizzontalmente, in relazione alla sua velocità, nel senso delle coordinate spaziali. In questo caso, il parallelepipedo o la pila di piani orizzontali, può essere visivamente immaginato come un mazzo di carte poggiato sul tavolo, ma con le singole carte che sporgono dal mazzo a destra e a sinistra.

Quello che non cambia rispetto al modello di Aristotele è il concetto di tempo assoluto . Nei diagrammi precedenti puoi notare che il tempo trascorso fra gli eventi E1 ed E2 è lo stesso sia per l’ing. Verdi (diagramma 20), sia per me sulla nave spaziale (diagramma 21). I due osservatori non concordano sulla posizione spaziale degli eventi E1 ed E2. Continuano invece a concordare, come nel modello aristotelico, sul tempo trascorso fra i due eventi. La simultaneità, e quindi il tempo trascorso fra due eventi, rimane un elemento di conoscenza assoluto anche secondo il principio di relatività di Galileo. In altri termini, con Galileo, lo spazio diventa relativo, mentre il tempo rimane assoluto.

Per terminare l’articolo ripropongo la metafora usata all’inizio.

Con Galileo tutte le persone possono dichiarare di essere in uno stato di quiete rispetto al resto del mondo. Tutti vogliono essere il Primo Motore e tutti hanno la pretesa di marchiare la griglia dello spazio con i propri numeri privati. Galileo taglia la testa al toro e stabilisce una sorta di democrazia fra tutti gli osservatori: come prima cosa fa limare tutte le coordinate sulla griglia fatte imprimere dal Primo Motore. Distribuisce poi a ciascun aspirante Primo Motore una stecca metrica con cui misurare le distanze intorno a lui.

La statua del Primo Motore viene decapitata da alcuni vandali rivoluzionari; l’orologio sul suo petto continuava a funzionare bene ed è pertanto lasciato intatto al suo posto. Vedremo che altri vandali penseranno bene di distruggere anche l’orologio.

Luigi Di Bianco

ldibianco@alice.it