Il campo gravitazionale

Semplicemente … la Teoria della Relatività Generale (4)

 L’analogia della membrana elastica di gomma, illustrata nel capitolo precedente Semplicemente … la Teoria della Relatività Generale (3) è molto utile perché fornisce un’immagine visiva di ciò che s’intende per curvatura della trama dello spazio, ma è senz’altro approssimativa e può essere fuorviante.

E’ bene quindi soffermarsi un attimo sulle sue debolezze o imprecisioni.

Innanzitutto, nell’analogia della membrana elastica (figura 1) ho volutamente trascurato il tempo per non complicare troppo le cose. Per completezza di trattazione però qualcosa devo dire, non posso tralasciare completamente la dimensione temporale.

Noi sappiamo dalla Teoria della Relatività Ristretta che spazio e tempo sono legati indissolubilmente. In parole povere, la relatività ristretta intreccia spazio e tempo in una struttura unificata, lo spaziotempo, e proclama che ciò che è vero per lo spazio è vero anche per il tempo: se lo spazio è modificato dalla gravità, deve essere per forza modificato anche il tempo.

Dall’esempio dell’astronave Discovery in rotazione intorno al proprio asse si può vedere come l’accelerazione e quindi la gravità incurva il tempo oltre che lo spazio (figura 2).

Ciro e Tonino si apprestano a fare un secondo esperimento. In questo caso, invece dei righelli di precisione, usano due orologi perfettamente sincronizzati prima della partenza. Ciro deve rimanere fermo con il suo orologio in prossimità della parete esterna dell’astronave. Tonino invece, cercherà di raggiungerlo lentamente partendo dal centro dell’astronave. Ogni cento metri (ricordo che Discovery ha un raggio di 1000 metri), Tonino deve fermarsi e confrontare il suo orologio con quello di Ciro per vedere se rimangono sincronizzati. 

Grazie alla nostra posizione privilegiata al di fuori dell’astronave noi ci rendiamo subito conto che i due orologi, perfettamente sincronizzati alla partenza, non vanno più d’accordo. Ciro e Tonino si stanno, infatti, spostando a velocità diverse. All’interno dell’astronave più si è lontani dal centro e più spazio occorre percorrere per completare il giro. La velocità quindi aumenta con la distanza dal centro. Ne consegue che la velocità di Ciro è molto più alta di quella di Tonino. Grazie alla relatività ristretta sappiamo che ad un aumento della velocità corrisponde un rallentamento del tempo (per approfondire, visita La TEORIA della RELATIVITA’ … per stupidi (6) e, quindi non ci meravigliamo più di tanto quando osserviamo che l’orologio di Ciro resta indietro rispetto a quello di Tonino.

Ma nel corso dell’esperimento accade anche un altro fatto molto importante per il nostro discorso. Man mano che si allontana dal centro dell’astronave, Tonino, oltre a notare che il suo orologio rallenta, sente anche una spinta sempre maggiore verso l’esterno, perché non solo la sua velocità aumenta ma anche la sua accelerazione. Nell’astronave quindi il ritardo degli orologi è legato all’aumento dell’accelerazione. Ora, se accelerazione è equivalente alla gravità, allora a una maggiore forza gravitazionale deve corrispondere un maggior ritardo degli orologi e una più pronunciata incurvatura del tempo. In altre parole un orologio sulla superficie della Terra, dove la forza gravitazionale è più forte, va più piano di un orologio a 10.000 metri di altezza.

Adesso però non metterti a sperimentare il disallineamento degli orologi confrontando un orologio al piano terra e uno al quinto piano!    🙂

L’effetto di ritardo degli orologi è molto piccolo e quindi difficile da verificare con esperimenti pratici. Gli orologi atomici oggi a disposizione sono comunque in grado di rilevare queste pur piccolissime differenze. Nel 1976, per esempio, la NASA ha lanciato un razzo con a bordo un orologio atomico con margine di errore di soli 10-12 secondi (un miliardesimo di miliardesimo di secondo) per ora.

Lo scopo del lancio era quello di dimostrare che al crescere dell’altitudine (e quindi al decrescere della forza gravitazionale), l’orologio in volo avrebbe accelerato rispetto a un identico orologio sulla Terra. Grazie a un sistema bidirezionale di segnali a microonde, i ricercatori poterono confrontare i due orologi trovando che all’altezza massima di 9.600 metri, l’orologio in volo era più veloce di quello sulla Terra di 4 x 10-9 volte, in accordo al 99,99 per cento con le previsioni teoriche. Ai fini pratici, la curvatura e, quindi, il rallentamento del tempo predetto dalla relatività generale, è essenziale per il buon funzionamento dei GPS, i navigatori satellitari che usiamo in auto. Senza le correzioni dovute al ritardo degli orologi, il navigatore sbaglierebbe di qualche chilometro e allora addio tom-tom e aggeggi simili.

Per concludere il discorso ci vorrebbe un bel grafico della curvatura dello spaziotempo. Ma è possibile esprimere graficamente la curvatura del tempo? A me risulta difficile anche solo visualizzare mentalmente la curvatura dello spaziotempo, quindi non ci provo neanche a rappresentarla graficamente. Chiudo quindi il discorso sulla curvatura del tempo e torno alle approssimazioni/imprecisioni dell’analogia della membrana di gomma.

In figura 3 la griglia distorta rappresenta la membrana elastica. Osservando la figura si ha la netta sensazione che la membrana s’incurvi sotto il peso della sfera azzurra mentre questa viene “tirata in basso” dalla forza di gravità. 

Questo è un grave errore concettuale perché ci riporta indietro alla nozione di gravità di Newton. Nello spazio invece, secondo la teoria gravitazionale di Einstein, non c’è alcuna forza che ‘tira’ o attrae verso il basso. E’ la massa della sfera che deforma lo spazio in tutte le direzioni intorno a sé: verso l’alto, verso il basso e verso qualsiasi altra direzione. 

Se proprio vogliamo usare una griglia bidimensionale per visualizzare la curvatura dello spazio, allora la griglia in figura 4 è altrettanto valida di quella in figura 3 e, in questo caso, si ha il vantaggio di non avere la sensazione sbagliata della presenza di forze che attirano la palla verso il basso.

E qui viene fuori il terzo punto debole dell’analogia della membrana di gomma: lo spazio non è curvato sotto la massa (la Terra, nell’esempio), come sembra indicare l’analogia della membrana elastica bidimensionale in figura 5

In realtà, lo spazio tridimensionale è incurvato ‘VERSO’ il centro della Terra come illustrato in figura 6.

Puoi immaginare l’azione della Terra nei confronti dello spazio circostante come un potente risucchio che fa convergere verso di sé, o meglio verso il centro della Terra, tutta la ragnatela di fili che costituiscono la griglia tridimensionale dello spazio.

La trama dello spazio così deformata crea il cosiddetto ‘campo gravitazionale’.

Siamo così giunti al cuore della relatività generale: il campo gravitazionale. Per capire bene di che si tratta è bene partire da lontano analizzando il concetto di spazio. Il campo gravitazionale deforma lo spazio … ma cos’è lo spazio? Bella domanda … Talete risponderebbe che lo spazio è ‘la cosa più grande perché abbraccia tutto’. … mmm …. questa definizione è troppo generica, assimila lo spazio all’universo, e non ci aiuta nel nostro discorso.

Pensandoci bene, la risposta che mi viene in mente è che lo spazio è ‘il vuoto che esiste fra gli oggetti materiali’. Che te ne pare?

Einstein, in ‘Lo spazio, l’etere e il campo’, scrive: “Dal punto di vista dell’esperienza dei sensi, sembra che l’idea di spazio si possa rappresentare con lo schema seguente: oggetto corporeo, relazione di posizione degli oggetti corporei, intervalli, spazio”.

Ok, allora lo spazio è l’intervallo fra gli oggetti corporei. Ma com’è composto, cosa contiene? Secondo l’esperienza dei nostri sensi viene da rispondere che non contiene niente, è vuoto. Il mio viso è un oggetto corporeo, lo schermo del monitor di fronte a me è un altro oggetto corporeo. La mia sensazione è che nello spazio fra il mio viso e lo schermo del computer non ci sia niente. Ma è proprio così? E’ proprio vero che lo spazio è vuoto, amorfo, inerte, senza proprietà e caratteristiche fisiche?

L’esempio proposto prima, quello dei due oggetti corporei (il mio viso e il monitor del computer) mi fa balenare una prima intuizione: io vedo quello che c’è sul monitor, quindi nei miei occhi entrano delle informazioni che, partendo dal monitor, attraversano il breve spazio fino ai miei occhi. Queste informazioni viaggiano sotto forma di onde elettromagnetiche e definiscono un preciso stato fisico dello spazio (perturbato dalle onde) fra il mio viso e il monitor del computer.

Ma a pensarci bene, nel breve spazio fra il mio viso e il monitor del computer, non ci sono solo le onde elettromagnetiche percepite dal mio occhio. Mentre me ne sto seduto davanti al computer, il piccolo spazio è letteralmente intasato da un’infinità di raggi cosmici, di onde radio, di luce ultravioletta e infrarossa, da gravitoni, bosoni W+, bosoni W-, neutrini, muoni e chi più ne ha più ne metta … tutti vibranti a velocità pazzesche.

Lo spazio allora sarebbe vuoto? Non credo proprio …. la mia definizione iniziale ‘lo spazio è il vuoto che esiste fra gli oggetti materiali’ è assolutamente sbagliata. Lo spazio non è vuoto, è pieno di energia (vacuum energy), o meglio, è una struttura energetica con precise proprietà fisiche determinate dalla presenza di particelle elementari e campi di forze. Considerata l’equivalenza massa-energia, possiamo tranquillamente dire che lo spazio è ‘materia trasparente’.

Lo spazio — inteso come struttura di energia — non è isotropo cioè non è uguale in tutte le direzioni quindi ha una sua forma, una sua geometria. E’ possibile visualizzare la geometria dello spazio? In un caso particolare è possibile.

E’ possibile, infatti, visualizzare la geometria dello spazio intorno a una calamita o magnete. Come noto, un magnete ha la proprietà di determinare nello spazio che lo circonda un campo magnetico con determinate caratteristiche fisiche. La struttura di questo campo è definita matematicamente dalle equazioni di campo di James Maxwell ma è visualizzabile con il semplice esperimento della limatura di ferro. Rifacciamo insieme l’esperimento. Esaminiamo innanzitutto la barretta metallica della calamita prima dell’esperimento: non notiamo niente di particolare, intorno a essa c’è il familiare spazio vuoto. Mettiamo ora della limatura di ferro su un sottile cartoncino e teniamo il magnete sotto il cartoncino. Scuotendo leggermente il cartoncino, vediamo che la limatura di ferro si dispone secondo la struttura del campo magnetico come mostrato in figura 7

I pezzetti di limatura di ferro si allineano spontaneamente lungo le linee di forza del campo magnetico rendendo così visibile la struttura dello spazio intorno al magnete. E’ importante notare che il movimento che io impartisco con le piccole scosse a ciascun pezzetto di ferro nel campo magnetico è regolato dalla struttura del campo.

Analogamente al magnete, i corpi dotati di massa modificano la geometria dello spazio che li circonda creando un campo gravitazionale definito matematicamente dall’equazione di campo di Einstein in funzione della densità di materia, dell’energia e della pressione. A differenza del campo magnetico, possiamo vedere il campo gravitazionale solo con l’immaginazione. Non ricordo dove l’ho letto, ma qualcuno dice che per rappresentare nella mente l’immagine di un campo gravitazionale occorre impegnare un buon settanta per cento della capacità cerebrale di un umano medio. Tu ci riesci?

Per evitarti lo sforzo, propongo, in figura 8, un altro modo di rappresentare graficamente il campo gravitazionale con le sue immaginarie linee di campo o linee di forza. 

Nella teoria di Einstein, la gravità non è una forza come tutte le altre, ma è la proprietà della materia di generare un campo gravitazionale che deforma le linee di spaziotempo, incurvando le famose geodetiche viste nel capitolo precedente. Anche questa rappresentazione è però incompleta perché in figura non è indicato un elemento importante: la direzione delle linee di forza.

Per discutere della direzione, parto dalle due geodetiche o linee di forza di colore giallo in figura 8 e faccio una zoomata verso la Terra. In figura 9, presento una visione semplificata delle linee di forza in prossimità della superficie terrestre. Ricordo che le linee di forza corrispondono alle geodetiche (via più breve fra due punti su una superficie curva). 

Le frecce in questa figura indicano la direzione del campo. Come vedi, tutte le frecce convergono verso il centro della Terra. In ogni punto del campo gravitazionale della Terra la direzione del campo è lungo la freccia immaginaria che passa per quel punto. Considera, per esempio, il corpo A inizialmente fermo in qualche punto sopra la superficie terrestre. Una linea di forza o geodetica passa per quel punto in direzione del centro della Terra. Lo stesso succede per il corpo B.

A un certo momento i due corpi, inizialmente fermi, sono lasciati cadere nel campo gravitazionale della Terra. Cadendo, essi seguono le rispettive geodetiche e si muovono l’uno verso l’altro man mano che cadono. Dalla prospettiva del disegno in figura 9 sembra che le due geodetiche passanti per A e B siano due rette. Non è così: se giri la Terra intorno al suo asse verticale di 90 gradi in senso orario vedrai che le due geodetiche sono curve.

Mi viene in mente adesso che è possibile ‘vedere’ una linea di forza o geodetica: la traiettoria della famosa mela di Newton che cade dall’albero disegna l’andamento di una geodetica. Anche un paracadutista che si lancia in volo libero da 3000 metri di altezza, se non fa movimenti strani che modificano l’attrito del suo corpo con l’atmosfera, scivola nella depressione della curvatura dello spazio e disegna nell’aria una bella geodetica.

Anche il tuo corpo, essendo dotato di massa, cerca strenuamente di seguire la sua geodetica verso il centro della Terra! Anche se sei seduto sulla sedia, tu stai cercando inconsapevolmente di cadere in caduta libera verso il centro della Terra. Come mai non sprofondi nei visceri del pianeta? Il fatto è che la tua sedia applica al tuo corpo una spinta verso l’alto che ‘deflette’ il tuo movimento naturale lungo la geodetica. Prova a togliere la sedia e ti troverai con il sedere per terra. 🙂  Adesso è il pavimento che t’impedisce di seguire la tua geodetica!

Queste ti possono sembrare considerazioni ovvie se non stupide. Non è così: nel semplice esempio del tuo corpo che tenta, naturalmente, di cadere in caduta libera c’è l’essenza della teoria della relatività generale: non c’è una forza di gravità che attira verso il centro della Terra; le uniche forze che esistono sono le forze esterne che deflettono i corpi dalle geodetiche che essi seguirebbero naturalmente.

A questo punto potresti obiettare che anche la Luna è nel campo gravitazionale terrestre e che, quindi, seguendo il mio ragionamento, dovrebbe precipitare, naturalmente, nella depressione dello spazio terrestre e schiantarsi sulla Terra.

Hai ragione … ma c’è una spiegazione. La Luna non sta ferma, ha una sua velocità intrinseca che le impedisce di cadere nell’avvallamento dello spazio causato dalla massa della Terra. Lo stesso vale per la Terra che non cade nell’avvallamento del Sole. 

Nella figura 10 ho messo un piatto fondo con una biglia rossa e un piatto piano con una biglia azzurra. Ora immagina che il piatto fondo sia il campo gravitazionale terrestre e che la biglia rossa sia la Luna.

Se lasci la biglia sul bordo del piatto, non ci sono dubbi … essa cade, come dici tu, verso il fondo del piatto seguendo le linee di forza del piatto (quelle cioè con massima pendenza). Se invece gli dai una piccola spinta orizzontale, la biglia si metterà a girare in tondo sul bordo del piatto. Lo stesso accade per la Luna. Essa è dotata di una velocità intrinseca che le consente di girare in continuazione (non ci sono attriti che ne rallentino la velocità ) sul bordo del campo gravitazionale terrestre.

Diversa è la situazione nel caso del piatto piano e della biglia azzurra. Se dai la stessa spinta iniziale alla biglia azzurra vedrai che essa non si mette a girare intorno al centro, ma se ne va diritta superando l’incurvatura del bordo.

La curvatura del bordo del piatto corrisponde alla curvatura del campo gravitazionale, ma cosa determina la maggiore o minore pendenza del bordo del piatto? E’ la quantità di massa che sta al centro del piatto. Una massa grande produrrà un bordo del piatto molto ripido, mentre una piccola massa produrrà un bordo basso come quello di un piatto piano.

Termino l’articolo presentando una bella animazione trovata sul web che mostra come diversi corpi ruotino intorno al centro di un campo gravitazionale. 

Luigi Di Bianco

ldibianco@alice.it