Il cono di luce

La TEORIA della RELATIVITA’ … per stupidi (9)

Abbiamo visto che, dati due distinti eventi E1 ed E2 non c’è una maniera di decidere se i due eventi sono simultanei o meno. Abbiamo anche visto che non c’è modo di definire in maniera assoluta né la distanza né il tempo che intercorrono fra i due eventi: due osservatori in movimento rettilineo e uniforme uno rispetto all’altro misureranno tempi e distanze diverse per gli stessi due eventi.

Ma esiste una relazione fra gli eventi E1 ed E2 che non dipende dall’osservatore?

Certo, due di queste relazioni si possono dedurre da quanto detto finora: (1) Se gli eventi E1 ed E2 avvengono nello stesso punto nello spazio e nello stesso istante, ogni osservatore concorderà su questo fatto; (2) se l’evento E2 è la ricezione di un segnale luminoso la cui emissione è l’evento E1, allora tutti gli osservatori concorderanno su questo fatto.

Ma c’è un’altra relazione assoluta fra due eventi: è il cosiddetto “intervallo o separazione spazio temporale”. Ragionando in termini matematici, la relazione scoperta da Einstein, che da questo momento chiamo semplicemente intervallo, somiglia al Teorema di Pitagora. Senz’altro ricorderai che il teorema in questione dice che l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree costruite sui cateti: c2 = a 2+ b2. Questa equazione definisce le caratteristiche dello spazio euclideo.

Nello spazio curvo della teoria della relatività se sostituiamo ai due cateti del triangolo, rispettivamente, il tempo e lo spazio e al segno più, il segno meno, l’ipotenusa ci darà l’intervallo tra due eventi. La formula è:   i2 = t2– x2.  Un po’ complicato, vero?

Per cercare di capire il concetto di intervallo la prendo alla larga facendo un’analogia con quello che succede nello spazio euclideo su un piano cartesiano xy.

Nel diagramma 50 ho disegnato un classico piano cartesiano xy nello spazio euclideo. Le unità di misura sull’asse y e asse x sono indefinite: possono essere centimetri, metri o chilometri. Per comodità diciamo che sono metri.

Nel piano cartesiano ho messo il punto A di coordinate x = 2, y = 2 e il punto B, di coordinate x = 4, y = 4.

Voglio sapere la distanza in metri fra A e B.

Questo è un problemino per le scuole medie, perché guardando il diagramma, puoi vedere che si tratta di trovare l’ipotenusa di un triangolo rettangolo applicando il teorema di Pitagora.

La distanza AB è data dalla radice quadrata della somma di due grandezze: il quadrato della lunghezza del cateto Δy, “delta y”, e il quadrato della lunghezza del cateto Δx, “delta x”. Il risultato è la radice quadrata di 8 = 2,828 metri.)

La situazione è diversa nello spazio curvo dello spaziotempo della relatività. Invece dell’asse y, qui abbiamo l’asse tempo, t.

Nel diagramma 51, ritroviamo l’osservatore privilegiato Rossi. In questo caso, l’unità di misura dell’asse tempo, t, è 1 secondo, l’unità di misura dell’asse spazio, x, è la distanza di 300.000 km .

Invece dei punti A e B, qui abbiamo l’evento E1 di coordinate t = 2, x = 2, e l’evento E2 di coordinate t = 4, x = 4. La differenza di tempo fra i due eventi, “delta t” o Δt , è 4 – 2 = 2. La differenza di spazio, “delta x” o Δx , è anch’essa di 4 – 2 = 2.

Voglio conoscere l’intervallo fra E1 ed E2 nel sistema di riferimento di Rossi.

La formula ci dice che l’intervallo fra E1 ed E2 è uguale alla radice quadrata di Δt al quadrato ( 22 ) meno Δx  al quadrato ( 22 ).

In questo caso particolare, con Δt = Δx , la radice quadrata di (4-4 = 0) è zero.

Tralascio per il momento di considerare cosa succede se “delta t” è maggiore di “delta x” o viceversa. Per il nostro ragionamento, possiamo accontentarci di rilevare che, per l’osservatore Rossi, l’intervallo fra E1 ed E2 è zero. Quello che voglio dimostrare ora è che l’intervallo fra E1 ed E2 è zero anche per tutti i possibili osservatori inerziali.

Nel diagramma 52, oltre a Rossi, ritroviamo il nostro amico Verdi che viaggia nel suo sistema di riferimento alla velocità relativa di 100.000 km/s.

Voglio conoscere l’intervallo fra E1 ed E2 nel sistema di riferimento di Verdi.

Abbiamo visto che per rapportare il sistema di riferimento di Verdi al sistema di riferimento privilegiato di Rossi si applica la trasformazione di Lorentz. Di conseguenza, la griglia delle coordinate di tempo e spazio è distorta, in relazione alla velocità di Verdi, come si vede nel diagramma.

Anche in questo caso Δt = Δx, per cui applicando la formula (intervallo uguale alla radice quadrata di Δt al quadrato meno Δx al quadrato), otteniamo lo stesso valore zero.

Altri osservatori inerziali che si muovono a velocità diverse avranno la griglia di coordinate distorte in maniera tale che Δx sarà sempre uguale Δt e, quindi, tutti gli osservatori inerziali concorderanno sulla misurazione dell’intervallo fra E1 ed E2.

Essendo uguale per tutti gli osservatori, l’intervallo spazio temporale fra due eventi è un valore assoluto come la velocità della luce.

Ritornando all’analogia con il piano cartesiano xy, si può ora costatare che “la distanza” fra due punti non ha niente a che fare con “l’intervallo” fra due eventi. Se c’è una distanza zero fra due punti, si può dire che i due punti coincidono, sono la stessa cosa, ma se c’è un intervallo zero fra due eventi, questo non vuol dire che i due eventi siano identici. La distanza spaziale fra i due eventi può essere di pochi chilometri o di miliardi di chilometri, ma se Δt = ± Δx, allora l’intervallo sarà sempre zero.

Ma che significa che Δt = ± Δx ?  Vuol dire che i due eventi possono essere collegati con un raggio di luce. Per esempio, chiamiamo evento E1 l’esplosione, avvenuta 1 ora fa, di un asteroide a 1.080 milioni di km di distanza dalla Terra; chiamiamo evento E2 la nostra percezione, avvenuta in questo istante, del flash dell’esplosione. Ebbene, l’evento E1 e l’evento E2 hanno fra loro intervallo zero perché Δt = Δx. Infatti, 1.080 milioni di km sono 3600 unità di misura spazio (di 300.000 km) e un’ora è 3600 unità di misura tempo (di 1 secondo). Quindi Δt è uguale a Δx e, di conseguenza, l’intervallo è zero. Δt è uguale a Δx anche se l’esplosione, evento E1, avviene a 300.000 km di distanza e noi la percepiamo, evento E2, dopo un secondo.

L’intervallo spazio temporale è importante perché serve a definire la struttura causale (attenzione, è il contrario di casuale) di un evento. Ogni evento nello spaziotempo ha una sua precisa struttura causale nella quale esso è correlato a eventi nel passato ed eventi nel futuro. Dato un certo evento, la struttura causale individua gli eventi del passato che possono averlo influenzato e quelli del futuro che potranno essere da esso influenzati.

Ma prima di parlare della struttura causale voglio introdurre il concetto di “cono di luce” dandone la definizione formale: “Il cono di luce è il luogo geometrico dei punti dello spaziotempo che soddisfano la condizione Δt = ± Δx

Non ti far impressionare da questa definizione. L’animazione che ho preparato è molto semplice e aiuta a capire la definizione. Mettiamo che io sia, QUI, in cima a una montagna e che, in questo preciso momento, ADESSO, io prema un interruttore per accendere una potente lampada.

Nell’animazione 08 l’unità di misura del tempo è 1 secondo; l’unità di misura dello spazio è la distanza di 300.000 km.

L’evento E1, il mio atto di premere l’interruttore, avviene QUI-ADESSO alle coordinate x = 0, t = 0. La sfera di luce emessa dalla lampada si espande in tutte le direzioni alla velocità di 300.000 km/s. Dopo 1 secondo la luce avrà raggiunto il punto di coordinate x = 1, t = 1. Dopo 2 secondi sarà al punto di coordinate x = 2, t = 2; e così di seguito.

Siccome la luce si espande alla stessa maniera in tutte le direzioni, dopo 1 secondo la luce avrà raggiunto anche il punto di coordinate x = -1, t = 1, dopo 2 secondi x = -2, t = 2 …. e avanti di questo passo.

Tutti i punti così identificati nell’animazione soddisfano la condizione Δt = ± Δx.  Le due linee che contengono questi punti demarcano il cosiddetto “cono di luce”.

Una cosa importante da notare è che il cono di luce nell’animazione è specifico all’evento E1, cioè al mio premere l’interruttore QUI-ADESSO nel punto di coordinate x = 0, t = 0. Il cono di luce di un altro evento, per esempio del mio premere lo stesso interruttore sempre QUI sulla montagna ma a un tempo diverso, diciamo t = 1, andrebbe a demarcare una regione diversa dello spaziotempo.

Nel diagramma 54, le due linee gialle sono il luogo dei punti che possono essere connessi da un raggio di luce.

La worldline di un fotone emesso all’evento E1 seguirà la linea gialla fino a raggiungere l’evento E2. Quando, come in questo caso, Δt = ± Δx, allora l’intervallo è zero e la separazione fra gli eventi è chiamata di “tipo luce”.

Ma cosa succede se x è diverso da t?

Mettiamo che x sia maggiore di t come nel caso dell’evento E3. Per andare da E1(0,0) a E3(6,4) sarebbe necessario viaggiare a una velocità superiore a quella della luce. Questo è vero perché la velocità è la distanza diviso il tempo, cioè x/t , o 6 / 4 = 1.5, mentre, nella nostra discussione, la velocità della luce è 1.

Siccome niente può viaggiare a una velocità maggiore a quella della luce, l’evento E1(0,0) non può assolutamente influenzare l’evento E3 (6,4). In altre parole, non può esserci un collegamento causale fra i due eventi. La separazione fra gli eventi E1 ed E3 , e più in generale quando x > t, è chiamata di “tipo spazio”.

La relazione di causalità può invece esserci fra gli eventi E1 ed E4. La velocità richiesta per andare da E1(0,0) a E4(2,6), è di 2 / 6 = 0.33, inferiore a 1, la velocità della luce. La separazione fra gli eventi E1 ed E4 e, in generale, fra E1 con tutti i punti all’interno del cono, è chiamata di “tipo tempo”.

A questo punto, allarghiamo la prospettiva e consideriamo anche gli eventi accaduti prima di ADESSO, nel passato, cioè in un momento con t minore di 0. La situazione è simmetrica: avremo un secondo cono unito al primo con continuità nel vertice corrispondente all’evento E1 e orientato in senso opposto.

Il cono con il vertice verso il basso delimita la regione dello spaziotempo che è raggiungibile nel futuro a partire dall’evento E1. Tutti gli eventi che cadono all’interno di questo cono, come l’evento E5, sono nel possibile FUTURO.

Tutti gli eventi all’interno del cono con il vertice verso l’alto, come l’evento E6, costituiscono il passato causale dell’evento E1 e quindi, tutti insiemi, formano il suo PASSATO.

Che dire degli eventi con separazione di tipo spazio che sono all’esterno dei due coni di luce come gli eventi E3, E4 ed E7? 

Semplicemente, l’insieme di tutti questi eventi costituisce l’ALTROVE.

E’ interessante notare che tutto il piano di simultaneità del mio presente è nell’altrove. Su questo piano ci sono tutti gli eventi, come l’evento E3 e l’evento E7, che sono simultanei al mio ADESSO al tempo t = 0. E’ interessante notare anche che, essendo la separazione fra gli eventi di tipo spazio, nessuno di essi può influenzare il mio QUI-ADESSO all’evento E1 … e viceversa. … Ti vedo perplesso …

Come al solito ricorro a un esempio. Sono seduto al computer a scrivere queste righe. A un certo punto, al tempo t = 0, batto rapidamente le mani provocando un suono secco. Ho prodotto, QUI-ADESSO, l’evento E1 di coordinate x = 0 e t = 0.

Mentre accadeva l’evento E1, nel piano di simultaneità del mio presente c’era il mio gattino Luna che poggiava la sua zampina su una mosca sul vetro della finestra (evento E3); c’era anche un passerotto che si posava sul tetto oltre la finestra (evento E7).

Siccome gli eventi E3 ed E7 sono nell’altrove di E1, non può esserci alcuna relazione di causalità fra E1 ed E3 e fra E1 ed E7. In altre parole, il mio sbattere le mani non può in alcun modo influenzare Luna che cattura la mosca e il passerotto che si poggia sul tetto.

Eppure il rumore secco provocato dallo sbattere delle mie mani ha fatto volare via il passerotto e spaventato Luna che ha lasciato la presa sulla mosca. Che cosa vuol dire allora che il mio sbattere le mani non ha alcun effetto su Luna e sul passerotto?

Bisogna cercare di immaginare gli eventi nella struttura dello spaziotempo.

La storia temporale o worldline del mio corpo (freccia verticale rossa) si evolve avanzando nel tempo nella direzione della freccia. Anche la storia temporale di Luna (worldline di colore azzurro) si evolve alla stessa maniera.

Le due worldline sono parallele perché Luna nel periodo in esame rimane sempre alla stessa distanza da me. Al tempo t = 0 Luna mette la zampetta sulla mosca ed io, battendo le mani, faccio partire un’onda acustica che si propaga nell’aria alla velocità del suono.

La mia storia temporale non è molto significativa perché, una volta provocata l’onda acustica io non faccio più niente e rimango seduto sulla sedia. Più interessante è la storia temporale di Luna. Quando al tempo t=0 Luna ha catturato la mosca il cono di luce del suo passato incentrato su E3 non comprende l’evento E1. Questo vuol dire che i due eventi non possono essere l’uno causa dell’altro. Un attimo dopo, la posizione di Luna nello spaziotempo è di qualche millimetro più in alto lungo la sua wordline.

Continuando ad avanzare lungo la worldline o coordinata tempo, Luna, a un certo punto, incontra il cono di luce del futuro dell’evento E1 (rimasto intanto fermo alle coordinate t = 0 e x = 0). Se l’evento E1 fosse stato l’emissione di un raggio di luce, Luna lo percepirebbe in questo momento. Ma non è questo il caso. Avanzando ancora di una frazione di secondo lungo la coordinata tempo, l’evento E1 entra nel cono di luce del passato di Luna.

L’onda sonora generata dall’evento E1 viaggia più lentamente della luce e raggiunge la worldline di Luna all’evento E5. Se costruiamo il cono di luce dell’evento E5, vediamo che E1 è nel suo PASSATO ed è, quindi, causalmente determinante. Ora Luna sente il rumore dell’onda sonora, si spaventa, lascia la presa sulla mosca che vola via. Il passerotto, essendo un po’ più lontano da me, vola via con qualche attimo di ritardo perché sente il rumore un po’ più tardi.

Come vedi, niente avviene per caso. Tutto è determinato da cause antecedenti.

Eventi per noi insignificanti come la vita o la morte della mosca, lo svolazzare dell’uccellino, il movimento delle nuvole in cielo, ma anche eventi decisivi che segnano il nostro destino in questa vita sono ‘nodi’ di un’immensa rete di relazioni causali che geometricamente, dal passato al futuro, copre tutto lo spaziotempo.

Io vedo esistenti contemporaneamente dinanzi a me gli eventi del passato, del presente e del futuro tutti correlati fra loro in una geometrica, perfetta e immobile struttura di relazioni di causalità.

Concludo invitandoti a una riflessione: immagina lo sconquasso che sarebbe causato in quest’ordinata struttura da un intervento estemporaneo di una Mano trascendente che, dall’esterno, vada a modificare anche uno solo dei nodi del reticolo di causalità.

Luigi Di Bianco

ldibianco@alice.it